การแก้สมการและอสมการ

 1.     ประโยคภาษาและประโยคสัญลักษณ์   

ประโยคภาษาคือ       ประโยคที่ใช้ติดต่อสื่อสารกันในชีวิตประจำวัน

ประโยคสัญลักษณ์  คือ       ประโยคที่ถูกสร้างขึ้นมาแทนประโยคภาษาเพื่อความ 

สะดวกในการคิดคำนวณ

    ประโยคภาษา                                 ประโยคสัญลักษณ์

ครึ่งหนึ่งของห้าสิบน้อยกว่าสามสิบ                

สองเท่าของจำนวนหนึ่งมากกว่าสิบอยู่สอง

2.     สมการ คือ  ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยมี

สัญลักษณ์  " = " บอกความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน  คำตอบของสมการคือ จำนวนที่แทนตัวแปรในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง หรือสอดคล้องกับสมการ

3.  อสมการ  คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยมี

สัญลักษณ์  " < ,  > ,  £ , ³ ,  ¹   บอกความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน   คำตอบของอสมการคือ จำนวนที่แทนตัวแปรแล้วในอสมการทำให้อสมการเป็นจริงหรือสอดคล้องกับอสมการ

4.  การแก้สมการ คือ วิธีหาคำตอบของสมการนั่นเอง

การตรวจสอบ  คือ การนำตัวแปรที่ได้จากการแก้สมการไปแทนลงในสมการที่กำหนดให้เพื่อดูว่าค่าดังกล่าวเป็นคำตอบของสมการหรือไม่

5.     โจทย์สมการ คือ โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ใช้การแก้สมการในการหาคำ 

ตอบนั่นเอง

หลักการแก้ปัญหาโจทย์สมการ

1.     อ่านโจทย์ให้เข้าใจว่าโจทย์กำหนดอะไรมาให้และต้องการหาอะไร

2.     กำหนดตัวแปรแทนโจทย์ต้องการหา

3.     เปลี่ยนประโยคภาษาที่โจทย์กำหนดให้เป็นประโยคสัญลักษณ์(สมการ)

4.     แก้สมการเพื่อหาคำตอบที่โจทย์ต้องการ

5.     ตรวจสอบคำตอบที่ได้กับเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดว่าสอดคล้องกันหรือไม่

ตัวอย่าง      ให้ 2 เท่าของ A น้อยกว่า 5 เท่าของ B อยู่ 10 ถ้า B =30 แล้ว A จะมีค่าเท่าใด

วิธีทำ         5B - 2A  =  10   -------(1)

                B = 30    -------------(2)

                แทนค่า(1)  ด้วย  (2)  ได้  2A   = 5(30) - 10 

=  150 - 10  = 140  

                                                        A  =  140/2  =  70

        ตรวจสอบคำตอบ  แทนค่า A = 70  ใน (1)  ได้  

5(30) - 2(70) = 150 - 140 = 10

ทำให้สมการเป็นจริง

6.  หลักการแก้อสมการ

1.     คำตอบที่ได้จากอสมการจะอยู่ในรูปช่วง

2.     ถ้าคูณหรือหารด้วยค่าลบ(จำนวนจริงลบ) เครื่องหมายของอสมการต้องเปลี่ยนเป็นตรงข้าม

3.     การแก้อสมการกำลังสูงสุดแค่หนึ่งให้ใช้หลักการแก้เหมือนการแก้สมการคือย้ายข้างได้สำหรับการบวกและลบนิยมย้ายตัวแปรใว้ด้านหนึ่ง

4.     การแก้อสมการที่มีกำลังมากกว่าหนึ่ง

4.1           ทำทางขวามือของอสมการให้มีค่าเป็นศูนย์

4.2           แยกตัวประกอบของอสมการให้อยู่ในรูปผลคูณหรือผลหารของฟังก์ชัน

4.3           พิจารณาดูว่าค่าใดบ้างที่ทำให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับสูนย์

4.4           นำค่าที่ได้ใส่ลงในเส้นจำนวน โดยเรียงจากน้อยไปมาก

    น้อย      +        -       +        -       +          มาก

 

        กำหนดให้ช่วงทางขวามือสุดเป็นค่าบวก  และถัดมาเป็นค่าลบ   บวก   ลบ  ……      สลับไปเรื่อย ๆ ตามจำนวนของช่วงที่มีอยู่

4.5           พิจารณาหาคำตอบ โดยใช้หลัก

(1)             ถ้าอสมการเครื่องหมาย > , ³ เลือกช่วงที่มีค่าบวก(+)  ถ้ามีหลายค่าเชื่อมด้วย "หรือ"

(2)             ถ้าอสมการเครื่องหมาย < , £ เลือกช่วงที่มีค่าลบ(-)  ถ้ามีหลายค่าเชื่อมด้วย "หรือ"

ตัวอย่าง  จงแก้อสมการ  (x-5)(x+2)      > 0

                                (x-3)

        วิธีทำ  วงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเท่ากับ 0 หาค่า x ออกมาได้ x = 5 ,-2 ,3

                เขียนบนเส้นจำนวน

                                -          +           -               +

                                       -2          3               5

                        \ คำตอบ คือ -2 < x < 3  หรือ  x  > 5

ขอบคุณข้อมูลจาก : www.tutormaths.com/matha20.doc

พหุนาม

พหุนาม คือ นิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนาม หรือเขียนอยู่ในรูปการบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป
เพื่อความสะดวก จะเรียกแต่ละเอกนามของพหุนามว่า พจน์ของพหุนาม
ในกรณีที่พหุนามมีเอกนามที่คล้ายกัน จะเรียกเอกนามที่คล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน
เช่น
8y เป็นพหุนามที่มี 1 พจน์
7x+3 เป็นพหุนามที่มี 2 พจน์
8x²-9x+4 เป็นพหุนามที่มี 3 พจน์
-4x³+3x²-2x+x² เป็นพหุนามที่มี 4 พจน์ แต่มีพจน์ที่คล้ายกันอยู่ 2 พจน์ คือ 3x² กับ x²
พหุนามที่มีพจน์บางพจน์ที่คล้ายกัน สามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน เพื่อทำให้เป็นพหุนามในรูปที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันเลย
และเรียกพหุนามที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันว่า พหุนามในรูปผลสำเร็จ
การเขียนพหุนามในรูปผลสำเร็จควรจะเขียนเรียงดีกรีของพหุนามจากมากไปหาน้อย
เมื่อเขียนพหุนามในรูปผลสำเร็จแล้ว จะเรียกดีกรีสูงสุดของพจน์ในพหุนามในรูปผลสำเร็จว่า ดีกรีของพหุนาม
การหาดีกรีของพหุนามสิ่งที่ต้องคำนึงถึงมีดังนี้
1. พหุนามนั้นต้องเป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จเสมอ
2. แต่ละพจน์สามารถบอกดีกรีได้ว่าเท่ากับเท่าใด
3. พิจารณาจากดีกรีที่สูงที่สุดของพจน์จะเป็นดีกรีของพหุนามนั้น
ตัวอย่างเช่น -5x²yz + 7x²y²z - 4xyz เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ ที่มี
ดีกรีของพจน์ -5x²yz เท่ากับ 4
ดีกรีของพจน์ 7x²y²z เท่ากับ 5
ดีกรีของพจน์ 4xyz เท่ากับ 3
ดังนั้น ดีกรีของพหุนาม -5x²yz + 7x²y²z - 4xyz เท่ากับ 5

2.2 การบวกพหุนาม
การบวกพหุนาม ทำได้โดยนำพหุนามมาเขียนในรูปการบวก ถ้ามีพจน์ที่คล้ายกันให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน
หลักการบวกพหุนามมี 2 วิธี คือ
1. บวกตามแนวนอน
ขั้นที่ 1 ให้เขียนพหุนามที่กำหนดให้ทั้งหมดที่ต้องการจะนำมาบวกกันในบรรทัดเดียวกัน
ขั้นที่ 2 ให้รวมพจน์ที่คล้ายกันตามแนวนอน
ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ที่ได้ในรูปพหุนามผลสำเร็จ

2. บวกตามแนวตั้ง
ขั้นที่ 1 ให้เขียนพหุนามที่กำหนดให้ โดยให้พจน์ที่คล้ายกันอยู่ตรงกัน
ขั้นที่ 2 ให้รวมพจน์ที่คล้ายกันตามแนวตั้ง
ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ที่ได้ในรูปพหุนามผลสำเร็จ

ขอบคุณข้อมูลจาก : http://www.thaigoodview.com/node/59510

ระบบจำนวนเต็ม (ต่อ)

คุณสมบัติการบวกและการคูณของจำนวนเต็มบวก

ถ้ากำหนดให้ a , b , c เป็นจำนวนใด ๆ

คุณสมบัติการสลับที่การบวก
a + b = b + a
ตัวอย่างเช่น 1 + 5 = 5 + 1 = 6

คุณสมบัติการสลับที่การคูณ
a x b = b x a
ตัวอย่างเช่น 1 x 5 = 5 x 1 = 5

คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
ตัวอย่างเช่น 1 + ( 2 + 3 ) = ( 1 + 2 ) + 3 = 6

คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
ตัวอย่างเช่น 1 x ( 2 x 3 ) = ( 1 x 2 ) x 3 = 6

คุณสมบัติการแจกแจง
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
ตัวอย่าง เช่น 2 x ( 3 + 4 ) = ( 2 x 3 ) + ( 2 x 4 ) = 14

สิ่งที่น่าสนใจ คือ เราเคยคิดหรือไม่ว่าในเมื่อจำนวนเต็มบวกมีคุณสมบัติการสลับที่สำหรับการบวก แล้วจำนวนเต็มบวกจะมี คุณสมบัติการสลับที่สำหรับการลบหรือไม่ เราลองมาพิจารณาดูประโยคต่อไปนี้ 25 - 30 = - 5 แต่ถ้า 30 - 25 = 5 แสดงให้เห็นว่าจำนวนเต็มบวก ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ สำหรับ การลบ และ จำนวนเต็มบวกมีสมบัติการสลับที่สำหรับการหารหรือไม่ เราลองมาพิจารณาจากประโยคต่อไปนี้
50 ÷ 5 = 10 แต่ถ้า 5 ÷ 50 = 0.1 แสดงให้เห็นว่าจำนวนเต็มบวก ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ สำหรับ การหาร

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ คือ ระยะทางที่จำนวนนั้น ๆ อยู่ห่างจากศูนย์ (0) บนเส้นจำนวนไม่ว่าจะอยู่ทางซ้าย หรือทางขวาของศูนย์ ซึ่งค่าสัมบูรณ์ของ จำนวนใด ๆ จะมีค่าเป็นบวกเสมอ กล่าวคือ

1 มีระยะห่างจาก 0 เท่ากับ 1 หน่วย นั้นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ 1 เท่ากับ 1

-1 มีระยะห่างจาก 0 เท่ากับ 1 หน่วย นั้นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ -1 เท่ากับ 1

ถ้าเราจะพิจารณาบนเส้นจำนวนถึงนิยามของค่าสัมบูรณ์ ก็จะเป็นดังรูป

เราอาจจะใช้สัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าสัมบูรณ์ คือ | | เช่น
| -4 | คือ ค่าสัมบูรณ์ของ -4 คือ 4
| 6 | คือ ค่าสัมบูรณ์ของ 6 คือ 6

โดยสรุปเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์ ถ้า กำหนดให้ a แทนจำนวนใด ๆ แล้ว

ข้อสังเกตุ 1. จำนวนเต็มลบซึ่งมีค่าน้อยกว่า เมื่อเปลี่ยนเป็นค่าสัมบูรณ์แล้วจะมีค่ามากกว่า เช่น -25 < -18 แต่ | -25 | > | -18 |
2. ค่สัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบอาจมากกว่าหรือน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกก็ได้ ขึ้นอยู่กับตัวเลข เช่น | -4 | > | 2 | แต่ -4 < 2

การบวกจำนวนเต็ม

1. จำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก ...........ถ้าอาศัยเรื่องของค่าสัมบูรณ์ ..... ...วิธีการ ก็คือ นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มมาบวกกัน ผลลัพธ์จะออกมาเป็น จำนวนเต็มบวก

2. การบวกระหว่างจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ ...ถ้าอาศัยเรื่องของค่าสัมบูรณ์..
วิธีการ ก็คือ นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มมาบวกกัน ผลลัพธ์จะออกมาเป็น จำนวนเต็มลบ

3. จำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ หรือ จำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวก .....ถ้าอาศัยเรื่องของค่าสัมบูรณ์ ......
หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มทั้งสองมาลบกัน โดยใช้จำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากเป็นตัวตั้ง ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

ข้อสังเกตุ
1 . ผลบวกของจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน จะได้จำนวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกับจำนวนที่นำมาบวกกัน
2. ผลบวกของจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายต่างกัน จะได้จำนวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกับจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

การลบจำนวนเต็ม

ถ้าเราพิจารณาผลลัพธ์ของ 5 - 3 และ 5 + ( -3 ) เราจะพบว่า 5 - 3 = 2 และ 5 + ( -3 ) = 2 นั้นคือ
5 - 3 = 5 + (-3)
แสดงว่า การลบจำนวนเต็มเราสามารถหาได้ในรูปของการบวก ถ้าเราสังเกต 3 และ -3 เราจะเห็นว่า จำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนตรงข้ามซึ่งกันและกัน จึงสรุปได้ว่า
ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ
หมายเหตุ การเปลี่ยนรูปแบบในการลบจำนวนเต็มในรูปของการบวก

การหารจำนวนเต็ม

เราเคยทราบว่า 6 ÷ 3 = 2 โดยเราสามารถตรวจสอบผลหารโดยอาศัยความรู้การคูณ กล่าวคือ 6 ÷ 3 = 2 นั้นคือ 6 = 2 x 3 = 6 ตามหลักการที่ว่า
ตัวตั้ง = ตัวหาร x ผลหาร ดังนั้นความรู้ในจุดนี้เราสามารถนำไปใช้ในการหารจำนวนเต็ม หรือเราอาจจะกล่าวได้อีกนัยหนึ่งว่า การหารจำนวนเต็มอาศัยความรู้พื้นฐานการคูณจำนวนเต็ม นั้นเอง สรุป 1. จำนวนเต็มชนิดเดียวกันหารกันได้ผลลัพธ์เป้นจำนวนเต็มบวก
2. จำนวนเต็มคนละชนิดกันหารกันได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มลบ

 ขอบคุณข้อมูลจาก : http://tc.mengrai.ac.th/siriporn_mr/Number.htm

ระบบจำนวนเต็ม

ระบบจำนวนเต็ม

ศูนย์และจำนวนเต็มบวก

ศูนย์ ( ใช้สัญลักษณ์ "0" )
เป็นจำนวนเต็มอีกชนิดหนึ่ง ที่เราไม่ถือว่าเป็นจำนวนนับ จากหลักฐานที่ค้นพบทำให้เราทราบว่ามนุษย์รู้จักใช้สัญลักษณ ์ "0" ในราวปี ค.ศ. 800 โดยที่ "0" แทนปริมาณของการไม่มีของหรือของที่ต้องการกล่าวถึง แต่ก็ไม่ใช่ว่า 0 จะไม่มีความหมายถึงการไม่มีเสมอไป ตัวอย่างเช่น ระดับผลการเรียนทางด้านความรู้ โดยนักเรียนที่มีระดับผลการเรียนเป็น 0 ไม่ได้หมายความว่านักเรียนคนนั้นไม่มีความรู้ เพียงแต่ ว่ามีความรู้ในระดับหนึ่งเท่านั้น

จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ คือ จำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 ไปเรื่อย ๆ โดยที่ไม่สามารถระบุได้ว่าจำนวนนับตัวสุดท้ายเป็นอะไร จำนวนนับเริ่มต้นที่ 1 , 2 , 3, ... ซึ่งเราทราบแล้วว่า จำนวนนับที่น้อยที่สุด คือ 1 จำนวนนับที่มากที่สุดหาไม่ได้

คุณสมบัติของศูนย์และหนึ่ง ถ้าเราสมมติให้ a แทนจำนวนใด ๆ จะได้ว่า

ประโยค

ตัวอย่างประโยค

0 + a = a + 0 = a

0 + 5 = 5

0 x a = a x 0 = 0

0 x 5 = 0

0 ÷ a = 0 เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0

0 ÷ 5 = 0

0 ÷ 0 ได้ผลลัพธ์มากมาย

0 ÷ 0 = 5

a ÷ 0 ไม่มีความหมาย

5 ÷ 0 ไม่มีความหมาย

a x 1 = 1 x a = a

5 x 1

จำนวนเต็มลบ

จำนวนเต็มลบ คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า ศูนย์ มีตำแหน่งอยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์เมื่ออยู่บนเส้นจำนวน และ จะมีค่าลดลงเรื่อย ๆ โดยไม่สามารถจะบอกได้ว่าจำนวนใดจะมีค่าน้อยที่สุด แต่เราสามารถรู้ได้ว่าจำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1 เราพอจะสรุปลักษณะที่สำคัญของจำนวนเต็มลบได้ดังนี้

1. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือถ้ามองบนเส้นจำนวน ก็คือ เป็นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือของศูนย์
2. จำนวนเต็มลบที่มีน้อยที่สุดไม่สามารถหาได้ แต่ จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1
3. ตัวเลขที่ตามหลังเครื่องหมายลบ ยิ่งมีค่ามากขึ้นจำนวนเต็มลบนั้นจะมีค่าน้อยลง
กล่าวคือ ...-5 < -4 < -3 < -2 < -1
4. จากข้อ 3 อาจจะกล่าวอีกนัยหนึ่งโดยดูจำนวนต่าง ๆ บนเส้นจำนวน จะได้ว่า จำนวนที่อยู่ทางซ้ายต้องมีค่าน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือเสมอ

จากเส้นจำนวน เราจะเห็นว่า ...-4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1< 2 < 3 < 4... นั้นคือ จำนวน ที่อยู่ทางซ้ายมือจะมีค่าน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือเสมอ

ตัวอย่าง จงเขียนจำนวนเต็มต่อไปนี้ จากน้อยไปมาก
-8 , -2 , 0 , 2 , 5 , -10
เรียงจากน้อยไปมาก จะได้ -10 , -8 , -2 , 0 , 2 , 5

ตัวอย่าง จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ จากมากไปน้อย
7 , 8 , 6 , -8 , -7 , -6
เรียงจากมากไปน้อย จะได้ 8 , 7 , 6 , -8 , -7 , -6

ข้อสังเกต ในการเรียงลำดับจำนวนเต็มให้เรามองแยกจำนวนออกเป็นกลุ่ม ๆ ก่อน แล้วดูตำแหน่งจำนวนในแต่ละกลุ่มเทียบกันบนเส้นจำนวน โดยที่จำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือจะมีค่าน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือเสมอ หรือ จำนวนที่อยู่ทางขวามือจะมีค่ามากกว่าจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือเสมอ

จำนวนตรงข้าม

จากเส้นจำนวนและความหมายของค่าสัมบูรณ์ ในเนื้อหาก่อนหน้านี้ จะพบว่า จำนวนเต็มลบและจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน จะอยุ่คนละข้างและห่างจาก 0 เท่ากัน อย่างเช่น
| -5 | = 5 และ | 5 | = 5 เราอาจจะกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า
-5 เป็นจำนวนตรงข้ามของ 5 และ
5 เป็นจำนวนตรงข้ามของ -5

ข้อควรทราบ 0 เป็นจำนวนตรงข้ามของตัวมันเอง .....ในการเขียนจำนวนตรงข้าม เราสามารถกระทำได้ กล่าวคือ 1.จำนวนตรงข้ามของ 10 เขียนแทนด้วย -10

2. จำนวนตรงข้ามของ -3 เขียนแทนด้วย -(-3) แต่จำนวนตรงข้ามของ -3 คือ 3 ดังนั้น -(-3) = 3

การคูณจำนวนเต็ม

1. การคูณระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ การคูณระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ นั้นให้เอาเลขโดดคูณกัน แล้วตอบเป็น จำนวนเต็มลบ

ตัวอย่างเช่น 1. 4 x (-3) = (-12) 2. (-1) x 3 = (-3)

2. การคูณระหว่างจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ เราทราบว่าถ้า 6 + (-6) = 0 แสดงว่า (-2) x (-3) ต้องให้ค่าออกมาเป็นบวก โดยในที่นี้ก็คือ 6 ดังนั้น ผลคูณระหว่างจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ ได้ผลลัพธ์เป็น จำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างเช่น 1. (-3) x (-2) = 6 2. (-5) x (-4) = 20

ข้อสังเกต

1. ผลคูณของจำนวนเต็มชนิดเดียวกันให้ค่าผลคูณเป็นจำนวนเต็มบวก
2. ผลคูณของจำนวนเต็มต่างชนิดกันให้ค่าผลคูณเป็นจำนวนเต็มลบ

 ขอบคุณข้อมูลจาก : http://tc.mengrai.ac.th/siriporn_mr/Number.htm

ภาคตัดกรวย

สูตรวงกลม

1. จุดศูนย์กลาง (0 , 0) , รัศมี = r
	x 2 + y 2 = r 2
2. จุดศูนย์กลาง (h , k) , รัศมี = r
	(x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2
3. รูปทั่วไป x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
4. ความยาว เส้นสัมผัส 1) เส้นสัมผัสลากจากจุด P(x 1 , y 1 ) ภายนอกวงกลมไปยังจุดสัมผัส และมีจุดศูนย์กลาง (h, k) , รัศมี = r
2) เส้นสัมผัสลากจากจุด P(x 1 , y 1 ) ภายนอกวงกลมไปสัมผัสวงกลมที่มีสมการ x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
5. สมการ เส้นสัมผัส วงกลมมีจุดศูนย์กลาง (h, k) , P (x 1 , y 1 ) เป็นจุดสัมผัส
	(x 1 - h) (x - h) + (y 1 - k) (y - k) = r 2

พาราโบลา

1. จุดยอด (0, 0)
x 2 = 4cy		y 2 = 4cx
c > 0 หงาย	c < 0 คว่ำ	c > 0 เปิดด้านขวา	c < 0 เปิดด้านซ้าย
1. จุดโฟกัส ( 0 , c ) 2. แกน พาราโบรา x = 0 (แกน y ) 3 สมการ ไดเรกตริกซ์ y = - c. 4. เลตัสเรกตัม = | 4c |		( c , 0 ) y = 0 ( แกน x ) x = - c | 4c |

2. จุดยอด (h, k)
(x - h) 2 = 4c (y - k)		(y - k) 2 = 4c (x - h)
c > 0 หงาย	c < 0 คว่ำ	c > 0 เปิดด้านขวา	c < 0 เปิดด้านซ้าย
1. จุดโฟกัส ( h , k + c ) 2. แกน พาราโบรา x = h 3 สมการ ไดเรกตริกซ์ y = k - c. 4. เลตัสเรกตัม = | 4c |		( h + c , k ) y = k x = h - c | 4c |

3. รูป สมการ ทั่วไป

1) x 2 + Ax + By + c = 0 , B 0 เป็น พาราโบรา หงาย หรือ คว่ำ 2) y 2 + Ay + Bx + c = 0 , B 0 เป็น พาราโบรา เปิด ด้าน ขวา หรือ เปิด ด้าน ซ้าย Note 1. B = -4c 2. B < 0 ก็ต่อเมื่อ c > 0 ( พาราโบรา หรือ เปิด ด้าน ขวา) B > 0 ก็ต่อเมื่อ c < 0 ( พาราโบรา คว่ำ หรือ เปิด ด้าน ซ้าย) 3. | B | = | - 4c | = | 4c | = ความ ยาว เลตัส เรกตัม

การเลื่อนแกนทางขนาน

ให้ P (x , y) เป็น จุด ๆ หนึ่ง และ O (0, 0) เป็น จุด กำเนิด เปลี่ยน ให้ เป็น P (x', y') และ O' (h, k) เป็น จุด กำเนิด x' = x - h y' = y - k

ขอบคุณข้อมูลจาก : http://std.kku.ac.th/5050200391/sumtus.php