อนุกรม

บทนิยาม อนุกรม

ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับจำกัด ที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป
a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมจำกัด
ทำนองเดียวกัน ถ้า a1, a2, a3, …, an, … เป็น ลำดับอนันต์ จะ เรียกการเขียนแสดงผลบวกในรูป
a1 + a2 + a3 + … + an + … ว่า อนุกรมอนันต์
1. ความหมายของอนุกรมและสัญลักษณ์แทนการบวก

กำหนด a1, a2, a3, … , an เป็นลำดับจำกัด

จะได้ a1 + a2 + a3 + … + an เป็นอนุกรมจำกัด
และ เมื่อ a1, a2, a3, …, an, … เป็นลำดับอนันต์
จะได้ a1 + a2 + a3 + … + an + … เป็นอนุกรมอนันต์
จากบทนิยาม จะได้ว่า อนุกรมจำกัดมาจากลำดับจำกัด และอนุกรมอนันต์มาจากลำดับอนันต์
จากอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + …
เรียก a1 ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม
a2 ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม
a3 ว่าพจน์ที่ 3 ของอนุกรม
an ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม
2. ตัวอย่างของอนุกรม
1. 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99 เป็น อนุกรมจำกัด
ที่ได้จากลำดับจำกัด 1, 3, 5, 7, …, 99
2. 1 + 2 + 4 + … + 2n-1 + … เป็น อนุกรมอนันต์
ที่ได้จากลำดับอนันต์ 1, 2, 4, …, 2n-1 , …
สัญลักษณ์แทนการบวก
เพื่อให้การเขียนอนุกรมสะดวกขึ้นจึงนิยมใช้อักษรกรีก (ซิกมา)
เป็น สัญลักษณ์แทนการบวก เขียนแทน a1 + a2 + a3 + … + an ด้วย
นั่นคือ = a1 + a2 + a3 + … + an
= a1 + a2 + a3 + … + a 10
เขียนแทน a1 + a2 + a3 + … + an + ... ด้วย
นั่นคือ = a1 + a2 + a3 + … + an + ...
บทนิยาม อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และ อัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต
จะเป็นอัตราส่วนร่วมของ อนุกรมเรขาคณิตด้วย
กำหนด a1, a1r, a1r2, …, a1r n-1เป็นลำดับเรขาคณิต
จะได้ a1 + a1r + a1r2 + … + a1r n-1เป็นอนุกรมเรขาคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต
จากบทนิยาม จะได้ว่า ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับเรขาคณิต ที่มี n พจน์
จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป
a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมเรขาคณิต
และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต จะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

ขอบคุณข้อมูลจาก : http://www.snr.ac.th/elearning/suvadee/content2-2.htm

ลำดับ

บทนิยาม ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 เรียกว่า ลำดับ

ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …, n } เรียกว่า ลำดับจำกัด

และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … } เรียกว่า ลำดับอนันต์

1 ความหมายของลำดับ

ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป

กล่าวคือ ถ้า a เป็น ลำดับจำกัด จะเขียนแทนด้วย a₁, a₂, a₃, …, a_n

และ ถ้า a เป็น ลำดับอนันต์ จะเขียนแทนด้วย a₁, a₂, a₃, …, a_n, …

เรียก a₁ ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ

เรียก a₂ ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ

เรียก a₃ ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ

และเรียก a_n ว่า พจน์ที่ n ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ

2.ตัวอย่างของลำดับ

1) 4, 7, 10, 13 เป็น ลำดับจำกัด ที่มี

a₁ = 4
a₂ = 7
a₃ = 10
a₄ = 13
และ a_n = 3n + 1

2) – 2, 1, 6, 13, … เป็น ลำดับอนันต์ ที่มี

a₁ = – 2
a₂ = 1
a₃ = 6
a₄ = 13
และ a_n = n² – 3

การเขียนลำดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไปพร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน

ตัวอย่าง

1) ลำดับ 4, 7, 10, 13 อาจเขียนแทนด้วย

a_n = 3n + 1 เมื่อ n { 1, 2, 3, 4 }

2) ลำดับ – 2 , 1, 6, 13, … อาจเขียนแทนด้วย

a_n = n² – 3 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

หมายเหตุ ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็น ลำดับอนันต์

3. ตัวอย่าง ลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับจำกัด หรือ ลำดับอนันต์

ลำดับจำกัด เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n พจน์แรก

ลำดับอนันต์ เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

1) 6, 12, 18, 24, 30 เป็นลำดับจำกัด

2) 2, 4, 8, 16, …, , … เป็นลำดับอนันต์

3) a_n = 5n – 2 เมื่อ n { 1, 2, 3, …, 20 } เป็นลำดับจำกัด

4) เป็นลำดับอนันต์

5) a_n = n² + 3 เป็นลำดับอนันต์

ขอบคุณข้อมูลจาก : http://www.snr.ac.th/elearning/suvadee/content1.htm

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปรเดียว ที่แต่ละพจน์มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง ของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

3x²+ 4x + 5 , 2x²– 6x – 1 , x²– 9 , y²+ 3y – 7 , -y²+ 8y

พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป ax² + bx + c เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัวที่

a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร

1.2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

ในรูป ax² + bx + c เมื่อ a , b เป็นจำนวนเต็ม และ c = 0

ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป ax²+ bx สามารถใช้สมบัติการแจกแจง

แยกตัวประกอบได้

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x² + 2x

วิธีทำ x² + 2x = (x)(x) + (2)(x)

= x(x + 2)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 4x² - 20x

วิธีทำ 4x² - 20x = (4x)(x) - (4x)(5)

= 4x(x - 5)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ -4x² - 6x

วิธีทำ -4x² - 6x = -2x(2x + 3)

หรือ -4x² - 6x = 2x(-2x - 3)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ -15x² + 12x

วิธีทำ -15x² + 12x = (3x)(-5x) + (3x)(4)

= 3x(-5x + 4)

หรือ -15x² + 12x = (-3x)(-5x) - (-3x)(4)

= -3x(5x - 4)

1.2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

ในรูป ax² + bx + c เมื่อ a = 1 , b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0

ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป x² + bx + c

สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม

ดังตัวอย่างต่อไปนี้

จากการหาผลคูณ ( x +2 )( x + 3 ) ดังกล่าว จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ x² + 5x + 6

โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ ดังนี้

x² + 5x + 6 = x² + (2 + 3)x + (2)(3) [ 2 + 3 = 5 และ (2) × (3) = 6 ]

= x² + (2x + 3x) + (2)(3)

= (x² + 2x) + [3x + (2)(3)]

= (x + 2)x + (x + 2)(3)

= (x + 2)(x + 3)

นั่นคือ x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้

1. (x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) + (x + 2)(3)

= (x² + 2x)+ [3x + (2)(3)]

= x² + (2x+ 3x) + (2)(3)

= x² + (2+ 3)x + (2)(3)

= x² + 5x + 6

ดังนั้น แยกตัวประกอบของ x² + 5x + 6 ได้ดังนี้ x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

ให้สังเกตว่า เราจะแยกตัวประกอบของ x²+ 5x + 6 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวน

ที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 6 และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ 5

(x + 4)(x – 5) = (x + 4)(x) + (x + 4)(-5)

= (x² + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

= x² + [4x + (-5)x] + (4)(-5)

= x² + [4 + (-5)] x + (4)(-5)

= x² + (-1)x + (-20)

= x² - x - 20

ดังนั้น แยกตัวประกอบของ x² - x - 20 ได้ดังนี้ x² - x - 20 = (x + 4)(x – 5)

จากการหาผลคูณ (x + 4)(x -5) ดังกล่าว จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ x²- x – 20

โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้

x²- x – 20 = x² + (-1)x + (-20)

= x² + [4 + (-5)] x + (4)(-5) [4 + (-5) = -1 และ (4)(-5) = -20 ]

= x² + [4x + (-5)x] + (4)(-5)

= (x² + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

= (x + 4)x + (x + 4)(-5)

= (x + 4)[x + (-5)]

= (x + 4)(x -5)

นั่นคือ x² - x - 20 = (x + 4)(x - 5)

ให้สังเกตเช่นเดียวกันว่า เราจะแยกตัวประกอบของ x²- x – 20 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็ม

สองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ -20 และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ -1

จากที่กล่าวมาข้างต้นนี้ ถ้าเราต้องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เช่น x²+ 6x + 8

เราจะต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ 8 และบวกกันได้ 6 ก่อน ดังนี้

เนื่องจาก x² + 6x + 8 = x² + (2 + 4)x + (2)(4)

= x² + (2x + 4x) + (2)(4)

= (x² + 2x) + [4x + (2)(4)]

= (x + 2)x + (x + 2)(4)

= (x + 2)(x + 4)

นั่นคือ x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)

ในกรณีทั่วไป เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป x² + bx + c เมื่อ b , c เป็นจำนวนเต็ม

และ c ≠ 0 ได้ ถ้าเราสามารถหา จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ c และบวกกันได้

เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ b

ถ้าให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน ซึ่ง mn = c และ m + n = b

จะได้ว่า x² + bx + c = (x + m)(x + n)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ x² – 10x + 21

วิธีทำ เนื่องจาก (-3)(-7) = 21

และ (-3) + (-7) = -10

ดังนั้น x² – 10x + 21 = [ x + (-3)][ x + (-7)]

นั่นคือ x² – 10x + 21 = ( x -3 )( x -7 )

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ x² + 5x - 6

วิธีทำ เนื่องจาก (-1)(6) = - 6

และ (-1) + (6) = 5

ขอบคุณข้อมูลจาก : http://www.ichat.in.th/bboy/topic-readid33335-page1

การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

ถ้า a , b และ c แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว

a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca

เราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่เป็นดังนี้

ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a

ถ้า a , b และ c เป็นพหุนาม เราก็สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างต้นได้ด้วย และเรียก a ว่า

ตัวประกอบร่วมของ ab และ ac หรือตัวประกอบร่วมของ ba และ ca

พิจารณาวิธีการแยกตัวประกอบของ 15x²y – 18xy² โดยใช้สมบัติการแจกแจงดังนี้

15x²y – 18xy² = 3(5x²y – 6xy²) [3 เป็น ห.ร.ม. ของ 15 และ 18]

= 3x(5xy – 6y²) [x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5x²y และ 6xy²]

= 3xy(5x – 6y) [y เป็นตัวประกอบร่วมของ5xy และ 6y²]

ดังนั้น 5x²y – 18xy² = 3xy(5x – 6y)

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 5xy + 6x²

วิธีทำ 5xy + 6x² = (x)(5y) + (x)(6x)

= x(5y + 6x)

ข้อสังเกต x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy และ 6x² ดึง x ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 12y²z + 20yz

วิธีทำ 12y²z + 20yz = (4yz)(3y) + (4yz)(5)

= 4yz(3y + 5)

ข้อสังเกต 4yz เป็นตัวประกอบร่วมของ 12y²z และ 20yz ดึง 4yz ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 16x³y³ – 24x⁴y

วิธีทำ 16x³y³ – 24x⁴y = (8x³y)(2y²) – (8x³y)(3x)

= 8x³y(2y² – 3x)

ข้อสังเกต 8x³y เป็นตัวประกอบร่วมของ 16x³y³ และ 24x⁴y ดึง 8x³y ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

ข้อควรระวัง

1. ตัวประกอบร่วมที่นำออกมานอกวงเล็บ

2. ต้องเป็นตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด

3. ถ้ายังมีตัวประกอบเหลืออยู่ต้องนำออกมาให้หมด

4. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์อาจต้องใช้สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่

ประกอบด้วย นอกจากจะใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ ab -2ac + bc -2c²

วิธีทำ ab -2ac + bc -2c² = (ab – 2ac) + (bc – 2c²)

= a(b – 2c) + c(b – 2c)

= (b – 2c)(a + c)

ดังนั้น ab -2ac + bc -2c² = (b – 2c)(a + c)

ข้อสังเกต 1. a , c เป็นตัวประกอบร่วม

2. b – 2c เป็นตัวประกอบร่วม

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 5x²z – 3y + 5yz – 3x²

วิธีทำ 5x²z – 3y + 5yz – 3x² = 5x²z – 3x² + 5yz – 3y

= (5x²z – 3x²) + (5yz – 3y)

= x²(5z – 3) + y(5z – 3)

= (5z – 3)(x² + y)

ดังนั้น 5x²z – 3y + 5yz – 3x² = (5z – 3) (x² + y)

ข้อสังเกต 1. x² , y เป็นตัวประกอบร่วม

2. 5z – 3 เป็นตัวประกอบร่วม

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ mr² – 3mp + 15np – 5nr²

วิธีทำ mr² – 3mp + 15np – 5nr² = mr²– 3mp – 5nr²+ 15np

= (mr²– 3mp) – [(5n)r²– (3)(5n)p]

= m(r² – 3p) – 5n(r² – 3p)

= (r² – 3p)(m – 5n)

ดังนั้น mr² – 3mp + 15np – 5nr² = (r² – 3p)(m – 5n)

ข้อสังเกต 1. m , 5n เป็นตัวประกอบร่วม

2. r² – 3p เป็นตัวประกอบร่วม

ขอบคุณข้อมูลจาก : http://www.ichat.in.th/bboy/topic-readid33335-page1