การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปรเดียว ที่แต่ละพจน์มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง ของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

3x²+ 4x + 5 , 2x²– 6x – 1 , x²– 9 , y²+ 3y – 7 , -y²+ 8y

พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป ax² + bx + c เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัวที่

a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร

1.2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

ในรูป ax² + bx + c เมื่อ a , b เป็นจำนวนเต็ม และ c = 0

ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป ax²+ bx สามารถใช้สมบัติการแจกแจง

แยกตัวประกอบได้

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x² + 2x

วิธีทำ x² + 2x = (x)(x) + (2)(x)

= x(x + 2)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 4x² - 20x

วิธีทำ 4x² - 20x = (4x)(x) - (4x)(5)

= 4x(x - 5)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ -4x² - 6x

วิธีทำ -4x² - 6x = -2x(2x + 3)

หรือ -4x² - 6x = 2x(-2x - 3)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ -15x² + 12x

วิธีทำ -15x² + 12x = (3x)(-5x) + (3x)(4)

= 3x(-5x + 4)

หรือ -15x² + 12x = (-3x)(-5x) - (-3x)(4)

= -3x(5x - 4)

1.2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

ในรูป ax² + bx + c เมื่อ a = 1 , b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0

ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป x² + bx + c

สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม

ดังตัวอย่างต่อไปนี้

จากการหาผลคูณ ( x +2 )( x + 3 ) ดังกล่าว จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ x² + 5x + 6

โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ ดังนี้

x² + 5x + 6 = x² + (2 + 3)x + (2)(3) [ 2 + 3 = 5 และ (2) × (3) = 6 ]

= x² + (2x + 3x) + (2)(3)

= (x² + 2x) + [3x + (2)(3)]

= (x + 2)x + (x + 2)(3)

= (x + 2)(x + 3)

นั่นคือ x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้

1. (x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) + (x + 2)(3)

= (x² + 2x)+ [3x + (2)(3)]

= x² + (2x+ 3x) + (2)(3)

= x² + (2+ 3)x + (2)(3)

= x² + 5x + 6

ดังนั้น แยกตัวประกอบของ x² + 5x + 6 ได้ดังนี้ x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

ให้สังเกตว่า เราจะแยกตัวประกอบของ x²+ 5x + 6 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวน

ที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 6 และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ 5

(x + 4)(x – 5) = (x + 4)(x) + (x + 4)(-5)

= (x² + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

= x² + [4x + (-5)x] + (4)(-5)

= x² + [4 + (-5)] x + (4)(-5)

= x² + (-1)x + (-20)

= x² - x - 20

ดังนั้น แยกตัวประกอบของ x² - x - 20 ได้ดังนี้ x² - x - 20 = (x + 4)(x – 5)

จากการหาผลคูณ (x + 4)(x -5) ดังกล่าว จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ x²- x – 20

โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้

x²- x – 20 = x² + (-1)x + (-20)

= x² + [4 + (-5)] x + (4)(-5) [4 + (-5) = -1 และ (4)(-5) = -20 ]

= x² + [4x + (-5)x] + (4)(-5)

= (x² + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

= (x + 4)x + (x + 4)(-5)

= (x + 4)[x + (-5)]

= (x + 4)(x -5)

นั่นคือ x² - x - 20 = (x + 4)(x - 5)

ให้สังเกตเช่นเดียวกันว่า เราจะแยกตัวประกอบของ x²- x – 20 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็ม

สองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ -20 และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ -1

จากที่กล่าวมาข้างต้นนี้ ถ้าเราต้องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เช่น x²+ 6x + 8

เราจะต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ 8 และบวกกันได้ 6 ก่อน ดังนี้

เนื่องจาก x² + 6x + 8 = x² + (2 + 4)x + (2)(4)

= x² + (2x + 4x) + (2)(4)

= (x² + 2x) + [4x + (2)(4)]

= (x + 2)x + (x + 2)(4)

= (x + 2)(x + 4)

นั่นคือ x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)

ในกรณีทั่วไป เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป x² + bx + c เมื่อ b , c เป็นจำนวนเต็ม

และ c ≠ 0 ได้ ถ้าเราสามารถหา จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ c และบวกกันได้

เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ b

ถ้าให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน ซึ่ง mn = c และ m + n = b

จะได้ว่า x² + bx + c = (x + m)(x + n)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ x² – 10x + 21

วิธีทำ เนื่องจาก (-3)(-7) = 21

และ (-3) + (-7) = -10

ดังนั้น x² – 10x + 21 = [ x + (-3)][ x + (-7)]

นั่นคือ x² – 10x + 21 = ( x -3 )( x -7 )

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ x² + 5x - 6

วิธีทำ เนื่องจาก (-1)(6) = - 6

และ (-1) + (6) = 5

ขอบคุณข้อมูลจาก : http://www.ichat.in.th/bboy/topic-readid33335-page1